Muzyka – pasja wielu ludzi, w szczególności przed świętami.

Harmonia tkwi w liczbach

Muzyka i matematyka – Arbones Javier*Pablo Milrud, przeł. Rączka Katarzyna

Wstęp

• Muzyka to przyjemność, jakiej dusza ludzka doświadcza przez liczenie, nie zdając sobie sprawy, że ma do czynienia z liczeniem [Leibniz].
• Muzyka jest fascynująca w swej różnorodności.
• Muzyka to powszechny środek wyrazu, pod względem geograficznym jak i kulturowym.
• Ucz się pojęć muzyki: akord, rezonans, klucze do partytury, zabawy muzyczne, struktura melodii.
• Delektuj się matematyką!
• Muzyczna potrawa.
• Niektóre utwory mają sens, jak rozwiążesz zagadkę matematyczną[?]
• Niektóre dźwięki mają dysonans!
• Kluczem do każdego dzieła pozostaje inspiracja i kunszt kompozytora!

Rozdział 1 – przestrzeń, czyli długość i podział struny.

• Muzyka – po milczeniu- najlepiej wyraża to, nie wyrażalne.
• Muzyka ma magiczną aurę, i dlatego wykorzystujemy ją, do łączenia się z Bogiem!
• Muzyka – sztuka pod opieką muz!
• Pitagorejczycy badali jednocześnie muzykę i arytmetykę.
• Muzyka sfer – akustyczne wibracje nieuchwytne dla wszystkich!
• Sztuki mniejsze, Dyscypliny wyższe; trivium – gramatykę, dialektykę, retorykę, oraz quadrivium: arytmetyka, geometria, astronomia i muzyka.
• Nauka – sztuki wolne, pozwalają trwać w równowadze z harmonijnym wszechświatem.
• System muzyczny Pitagorasa.
• Zmiana długości struny powoduje różne dźwięki.
• Jelita baranie! I zawieszone na nim ciężarki, kuźnia kowala, który wykuwał miecze! – czyli jak powstały struny.
• Interwał oktawy – odległość między jednym c a kolejnym, kwinta, kwarta
• Interwał – różnica między wysokością dwóch dźwięków rejestrowanych przez  słuchacza.
• Interwały: wielkie, małe, czyste.
• Pitagoras [582-496 p.n.e]
• Diapazon [1:2], diapante [2:3], diatessaron [3:4] – interwały: oktawa, kwarta, kwinta.
• Liczba, harmonia i piękno!
• Strojenie bezwzględne [pewna, obiektywnie konkretna wysokość].
• Strojenie względne [w odniesieniu do innych instrumentów].
• Ludzkie ucho [20 – do 20000 Hz]
• a¹ = 440 [Hz], bo 439 jest liczbą pierwszą.
• Oscylator kontrolowany przez kryształ pizoelektryczny.
• Elektroniczny dzielnik częstotliwości.
• Każda nuta ma swoją częstotliwość.
• Kategorie muzyczne i liczbowe
• Długość struny ma porządek liniowy, dźwięki mają charakter wykładniczy.
• Interwał [wstępujące i zstępujące] = muzyczna odległość między nutami.
• Aby dotrzeć od c do f [kwartał, ] bo odległość wynosi 4 nuty: c-d-e-f!
• Stosunek liczbowy ich częstotliwości drgań.
• Klawiatura fortepianu od 1-7 nut się powtarza, następuje dodawanie liniowe interwałów.
• Skala Pitagorejska, stosunek interwałowy w oktawie 2:1, w kwincie 3:2.
• Komat Pitagorejski. [różnicy pomiędzy dźwiękiem fis-ges]
• Ręka Guidona – do uczenia nut.
• Wilcza kwinta.
• Skala diatoniczna.
• Tonika [dźwięk centralny].
• Każdy dźwięk ma funkcję, tworząc grę napięć.
• Wszyscy są szczęśliwi [?]
• Oktawa doskonała [18/17 nie daje czystych oktaw], Vincenco Galileo x¹²=2, x=1,05946
• Cent –  jest logarytmiczną jednostką miary stosowaną do pomiaru interwałów o bardzo małych częstotliwościach z bezwzględną pozycją.
• Dzwonki harmoniczne – z metalowych rurek można produkować różne rodzaje dzwonków.
• Współmierność {można dowolne dwie miary porównać za pomocą liczb całkowitych} – liczby wyrażają więc harmonię wszechświata.
• Liczby wymierne rozwiązują problem ze strojeniem sprzętu grającego.

Rozdział 2

• Inny wymiar, czas
• Rytm jest pierwotną i zasadniczą częścią muzyki.
• Wszystko ewoluuje w czasie.
• Rytm ciał niebieskich, np. taniec faz księżyca
• Rytm – następstwo i powtarzanie się!
• Rytm jest tętnem utworu muzycznego.
• Rytm to częstotliwość, z jaką wydawane są poszczególne dźwięki.
• Rytmy warstwowe
• Od starożytności ludzkość próbowała zachować melodię w sposób graficzny!
• Frazowanie.
• Intensywność pieśni.
• Wysokość dźwięku.
• Dokładny rytm.
• Ruch stopy nazywamy „beatem”.
• Nuty proporcjonalne.
• Nuta i pauza [1 i 0]
• Takt – naprzemienna konwencja nut i pauz, trwająca w określonym czasie, aby zrozumieć rytm. Takt trwa od jednej jednostki mocnej do drugiej.  Rodzaje taktów: dwudzielne [metrum proste], trójdzielne [metrum złożone].  Jeśli takty trwają tyle samo – utwór jest regularny [stały].
• Akcent.
• Stosowana dzisiaj pięciolinia.
• Jaśniej, póki żyjesz. {nagrobek, hymn o ulotności życia, Seikilos, 2 w.p.n.e.} Czas odbierze swoją część.
• 3, liczbę tę kojarzono z doskonałością religijną.
• Modus, tempus,{miara taktu – dwudzielne (niedoskonałe), trójdzielne(doskonałe[perfecto])} prolatio {minor dwudzielna, major trójdzielna} – rodzaje proporcjonalności.
• Matematyka tworzy modele, jest to, jedynie próba konceptualizacji rzeczywistości.
• Partytura oddaje aspekt techniczny dzieła muzycznego, jednak jej interpretacja spoczywa w rękach muzyka! [jego decyzje estetyczne dopełniają utwór i nadają mu głębokie znaczenie]
• Zrozumieć sekwencję!
• Kanon – reguły śpiewania.
• W wypowiedzi muzycznej na przemian występują jednostki mocne i słabe.
• Strukturę tej wypowiedzi wyznaczają jednostki mocne.
• Muzyka – sztuka, obserwowana i analizowana przez matematykę.
• Ruch wsteczny.
• Inwersja.
• Prędkość – metronom, muzyczny zegar.

Rozdział 3. Geometria kompozycji

• Waza nadaje formę pustce, muzyka ciszy!
• Ja nie jestem matematykiem, tylko geometrą!
• Natura porządkuje kształty.
• Nadać materii nowy porządek estetyczny!
• Muzyka – eteryczna strona sztuki.
• Pięciolinia – na tej samej linii mają tę samą wysokość [częstotliwość]
• Odległość muzyczna – interwał tercji
• Nuty – cała, pół, ćwierć, ósemka, szesnastka, sześćdziesiątka czwórka
• Wysokość dźwięku – ton
• Klucz wiolinowy – g, f, e, wstępując: a, h , c
• Klucz basowy
• Klucz altowy
• Skale: durowa, molowa
• Skale symetryczne.
• Przekształcenia fali.
• Alteracje: krzyżyk [podnosi dźwięk], bemol [obniża dźwięk] i kasownik
• Krzywa melodyczna
• Prawo domykania, niedomkniętych kształtów
• Przekształcenia izometryczne, zachowują odległości
• Proporcjonalna zmiana prędkości utworu.
• Matematyka formy muzycznej.
• Proces twórczy – dopracowanie formy [szczegół – ogół], napięcia-odprężenia, krawędzie i fale, niskie i wysokie tony.

Rozdział 4. Fale i bity

• Muzyka jest arytmetyką dźwięków, jak optyka – geometrią światła.
• Sekwencja i ukryta głębia utworu.
• Fizyka dźwięku –
• Fala – oscylacja stanów ciśnienia.
• Prędkość – fluktuacja między stanami.
• Częstotliwość, im większa częstotliwość tym wyższy dźwięk.
• Natężenie – ilość energii akustycznej, przenoszonej przez falę podłużną w jednostce czasu.
• Mniejsza amplituda, mniejsze natężenie.
• Granica bólu ok. 200Pa, 120-140DB.
• Jednostką miary jest bel.
• Fale jednowymiarowe [przenoszą impulsy w linii prostej], dwuwymiarowe [rzut kamienia w wodę], trzywymiarowe [czoło fali jest powierzchnią sferyczną].
• Barwa dźwięku nadaje mu jego osobowość!
• Wibracja – dźwięk złożony, zestaw fal towarzyszących [mniejsze natężenie i większe częstotliwości] – alikwoty.
• Alikwoty się porządkuje.
• Zjawisko alikwotów.
• Rola alikwotów: parzyste zwiększają natężenie, nieparzyste to barwa nosowa, piątkowe nadają ciepłe brzmienie
• Dźwięk – ma fazy [przebieg emisji w czasie]: narastanie, opadanie, wybrzmiewanie, wybrzmiewanie końcowe,
• Na dźwięk składają się czynniki: geometria źródła wydającego dźwięk, komora rezonansowa, materiał z którego jest zrobiony.
• Superpozycja fal.
• Chropowatość.
• Synteza dźwięków.
• Cechy dźwięku. Wytworzenie, projektowanie,
• Filtry i procesory dźwięków [operują na alikwotach]
• Oscylator dźwięku.[dolno, środkowo, górnoprzepustowe] – naśladują instrumenty.
• Cyfrowa technika dźwiękowa.
• Analogowe metody przechowywania i odtwarzania dźwięku.
• Przetworniki [mikrofon, głośnik] dźwięku.
• Digitalizacja [dyskretyzacja] – modulacja impulsowo-kodowa.
• Kompresja danych – proces kodowania informacji cyfrowej.
• Algorytmy stratne i bezstratne.[Zip, Rar, Arj]
• MIDI – aby sprzęt mógł się komunikować między urządzeniami.

Rozdział 5 Matematyka dla kompozytorów

• Muzyka atonalna.
• Dodekafonia.
• Serie.
• Reprezentacja numeryczna, kołowa i tablicowa.
• Serializm integralny.
• Eksperymenty nad inteligencją muzyczną
• Mechanizacja.
• Inspiracja obrazem.
• Kompozycja algorytmiczna.
• Muzyka jest formą komunikacji.
• Muzyka sposób wyrażania tego co wzniosłe.
• Zawsze jest granica, poza którą wyjaśnienia odwołują  się do mglistych pojęć, duchowość, wrażliwość.
• Wykraść boski ogień inspiracji! I uczynić go dostępnym dla wszystkich.
• Dysonans.
• Pokrewieństwo dźwięków. [wspólne alikwoty]
• Budowa nuty: główka, laska, chorągiewka.
• Muzykę dano nam po to, aby wszystko porządkowała, a w szczególności koordynację człowieka i czasu.
• Źródłem muzyki jest percepcja czasu.
• Dwa sposoby rozumienia muzyki: modalny [to poezja] i tonalny [to taniec].
• Charakterystyczna projekcja: do przodu, ku przyszłości – w tonalnym.
• Czas to wieczność.
• Czas to teraźniejszość ciągła.