Przed nami ferie zimowe 2022.

Pierwszy miesiąc świętowania tytułu MŚ mija. Na każde wakacje książka to najlepszy przyjaciel.

Marzenia umysłu. Javier Fresan

Logika matematyczna i paradoksy. Przeł. Wiktor Bartol

Wstęp

• Matematyka jest najdoskonalszą realizacją marzenia o inteligencji.
• Odkrycie geometrii nieeuklidesowych radykalnie odmieniło metodę aksjomatyczną.
• Istnieją zdania prawdziwe, których udowodnić się nie da.
• Porażka rozumu [?]
• Logika idzie ku nowemu terytorium /od 1965 rozmyta / wielowartościowa

Rozdział 1

• Metoda aksjomatyczna.
• „kto nie geometryczny, niech tu nie wchodzi”.
• Aksjomat – twierdzenie oczywiste, nie wymagające uzasadnienia, dowodu.
• Aksjomaty – zdania wybrane, dla wygody mówiącego.[lol]
• Aksjomat – prawda oczywista.
• Od geometrii nieeuklidesowej do teorii względności.
• Od geometrii nieeuklidesowej do komputerów i sztucznej inteligencji.
• Otwieraj okno na inne światy, przynajmniej w filozofii.
• Wykorzystuj pejzaż po bitwie.
• Prawdziwość wyniku, zależy wyłącznie od prawdziwości założeń.
• Sensownie mówić o prawdziwości aksjomatów.
• Odpowiedniość z rzeczywistością [?]
• Zdanie sprawdzalne!
• Geometria – zbiór abstrakcyjnych relacji między pojęciami.
• Dwie proste równoległe – nigdy się nie przecinają.[?]
• Prosta – najkrótsze połączenie między punktami.
• Grawitacja – krzywizna przestrzeni,…
• Trójkąty – obiekty mające znaczenie fizyczne.
• Określenie idei aksjomatyzmu.
• Teoria – podstawy, z której wnioskujemy dalsze wnioski.
• Nie można udowodnić twierdzenia z niczego.
• Modus ponents – tryb potwierdzający, przez potwierdzenie.
• Modus tolens – falsyfikowalność.
• Ziemia jest mokra, zatem padało!
• Regułę wnioskowania należy uznać za poprawną, gdy jej wniosek nie zależy od interpretacji przesłanek!!!
• Lekarstwo czasami okazuje się gorsze od choroby.
• Giuseppe Peano  – 5 aksjomatów indukcji[1].
• Nieodpowiedni dobór aksjomatów czyni teorię bezowocną.
• Euklides miał wizję konstrukcji matematyki, ale znika w niej kompas doświadczenia.
• Formalne kryteria doboru aksjomatów: niesprzeczność, rekurencyjność, zupełność.
• Paradoks niezawodnej rakiety, wobec niezniszczalnego samolotu.
• Niesprzeczność aksjomatów – minimum! Minimalna gwarancja solidności podstaw.
• Rekurencyjność – jest hamulcem, aby nie dowodzić wszystkiego, nie ma teorii wszystkiego!
• Zupełność  – aksjomaty wystarczą do wyprowadzenia z nich wszystkich zdań prawdziwych.
• W teorii sprzecznej – każde zdanie jest twierdzeniem.
• W danej teorii, można sformułować zdania, których ani udowodnić, ani obalić nie można.
• Logika  – bada teorię, niezależną od treści.
• Wprowadzaj równowagę!

Rozdział 2

• Paradoksy – pasja rozumu! [Kierkegard].
• Intrygujące rozmowy filozoficzne do rana.
• Młodzież szuka rozrywki w alkoholu i płochej gonitwie za kobietami.
• Wrogość świata jest nie do zniesienia.
• Szczęście żaćmiewa myśl – Grek dowodził wszystkiego, a zaczyna od twierdzenia: punkt[2] – coś co nie ma wymiarów!?
• Przez punkt można poprowadzić tylko jedną prostą równoległą!??
• Zbiór, który nie jest swoim własnym elementem.
• Dla wygody rozumowań?!
• Zbiór – pewna mnogość elementów!, kolekcja elementów mających pewną własność.
• Liczby naturalne – najmniejszy nieskończony zbiór, jaki można sobie wyobrazić.
• BIBLIOTEKARSKI NARCYZM – katalog, który sam siebie cytuje.
• Przyjęte kryterium uniemożliwia pełną klasyfikację.
• „największa z liczb naturalnych” – „obecny król Francji” – pustosłowia.
• Każdemu obiektowi matematycznemu można przypisać liczbę, zależną od jego złożoności.
• Budowanie teorii zaczyna się od precyzyjnego i dokładnego określania przedmiotu jej badań!
• Paradoks – etymologicznie ma greckie korzennie, coś co wykracza po za powszechny osąd.
• Królestwo rozumu w najczystszej postaci.
• Parmenides – ruch nie istnieje? Zenon z Elei – paradoks Achillesa i żółwia[3].
• Antynomie – stwierdzenie jednocześnie prawdziwe i fałszywe![4]
• Epimenides z Krety, Kreteńczycy zawsze kłamią!
• Na każdym kroku potrzebujemy matematyki – Cervantes, Don Kichote,
• Idę umrzeć jutro na szubienicy!
• Na pochwałę zasługuje tylko dobry uczynek.
• Nicolas de Oresme [1323-1382]
• Każdy wybór prowadzi do sprzeczności!
• Kompas do mglistych pojęć!

Rozdział 3

• Bóg istnieje, ponieważ matematyka jest niesprzeczna! [Andre Weil]
• Diabeł istnieje, ponieważ nie umiemy tego udowodnić.
• Każda epoka rodzi własne problemy, a do następnego pokolenia należy je rozwiązać.
• Jedynym motorem rozwoju matematyki jest rozwiązywanie problemów.[Hilbert]
• Logika formalna rodzi sprzeczności.
• Geometria niezmienni swojej istoty, jak wymienimy pojęcia.
• System formalny – aksjomaty, i reguły wnioskowania.
• Dowód – ciąg formuł.
• Ostatnia formuła dowodu nazywa się twierdzeniem.
• Matematyka nie jest opłacalna??
• Obiekty matematyczne są wymysłem ludzkiego umysłu?
• Nieskończoność potencjalna zbioru, i aktualna

Rozdział 4

• Gdy wynika różnica poglądów, wszelki spór załatwia działanie – obliczmy!
• Epistemologia nauk ścisłych.
• W duchu swojego mistrza.
• Wydarzenie, które dostrzega się w przestrzeni i czasie!
• W matematyce nie istnieją problemy nierozwiązywalne.
• Musimy wiedzieć, będziemy wiedzieć!
• Nie można zmierzyć jednocześnie: położenia i pędu elektronu! [Heisenberg]
• Zdanie rozstrzygalne.
• Zmieniaj dowód w relacje liczbowe.
• Logika deontyczna.
• Logika rozmyta[5].[fuzzy bo nie wyróżnia się określonych brzegów]
• Szachiści wymyślili niezwykle zwięzły zapis[6] swojej partii.
• Użyteczność systemu kodowania.
• Najbardziej złożone systemy przekładają się na systemy kodowania.
• Uniwersalny język redukujący wszystkie myśli do pojęć pierwotnych.
• Zdanie 0=1 nie ma dowodu!
• Niezupełność parkietarzy.
• Zauroczyłem się analogią, wyciągać wnioski …bez matematyki?

Rozdział 5

• Maszyny Turinga.
• Moja nigdy niegdacząca kura znosząca złote jajka.
• Myśleć jak maszyna?!
• Program opisujący operacje[7], dane wyjściowe, pośrednie obliczenia, wynik obliczeń.
• Liczby Bernoulliego.
• Karty perforowane.
• Tkalnia czystej algebry.
• Liczby obliczalne do problemów nierozstrzygalnych – Alan Turing.
• Komputerom nigdy nie trafi się zły dzień, nie męczą się, nie nudzą
• Wytyczaj granice oczekiwań.
• Funkcja obliczalna o argumentach i wartościach naturalnych.
• Funkcja rekurencyjna, oblicza wartości, jakie przyjmuje funkcja dla argumentów mniejszych od n.
• Czytnik rozróżnia cyfrę zero i jeden!
• Zestaw instrukcji dla maszyny jak mam reagować?
• W stałym stosunku pola koła do jego obwodu występuje każdy wzorzec liczbowy.
• Igły  w stogu siana to zbiór przeliczalny.
• Maszyna -sen Leibniza- będzie odróżniać zdania fałszywe od prawdziwych.
• Rachunek struktur!
• Problem rozstrzygalności.
• Entuzjazm narasta w tym samym tempie w jakim spada zainteresowanie słuchacza.
• Maszyna prawdy

Rozdział 6

• Wszystko dobre co się nie kończy!
• Postęp miligramowy wymaga długiego przygotowania.
• Bądź osobą o nieskazitelnej czystości.
• Rezygnuję z dobrodziejstw niepewności.
• Przeklęty wschód, który nie zna prawa wyłączonej sprzeczności.
• 1965 powstaje logika rozmyta! Zdania prawdziwe, fałszywe i możliwe.
• Zbiór osób przystojnych.
• Źródło paradoksu zawsze leży głębiej.
• Pozostaje nieokreśloność, a decyzje trzeba podejmować.
• Ograniczona znajomość rzeczy.
• Wykres postaci: trójkąta, trapezu
• Zbiory rozmyte pozwalają rozwiązać paradoksy
• Wydaje się niepokojące
• Nowy formalizm jako punkt wyjścia
• Przetwarzanie danych, rozpoznawanie wzorców – tematy, gdzie brak jest precyzji.
• Nadeszła epoka rozmyta!
• Ulepszanie czasu?
• Złożoność.
• W miarę wzrostu złożoności jest potrzebne nowe myślenie.
• Umiejętność szacowania trudnych pojęć, to idea, która wymyka się wszelkim definicjom.
• Silnia ma zabójcze konsekwencje.
• Problemy, które trudno rozwiązać, ale łatwo sprawdzić.
• Czas wielomianowy!
• Od pewnego czasu fizycy wykorzystują niedeterministyczne własności atomu.
• Całość jest większa od sumy jej części.
• Każdy wyraz ma bardzo precyzyjne znaczenie.
• „Jasność to rana najbliższa Słońcu”.
• Owad społeczny
• Genetyczny nakaz szukania pożywienia – mrówka.
• Jak z prostoty składników układa się złożoność układów.
• Prosty składnik to neuron.
• Zjawiska globalne: percepcja, inteligencja, uczucia.
• Funkcje o wielu parametrach.
• Zadanie jest dziełem otwartym
• Sztuczna inteligencja – dziedzina nauki- komputery imitujące ludzkie działanie.
• Synteza – umiejętność łączenia kreatywności z matematycznym rachunkiem
• System formalny – definicje i ich problemy nierozstrzygalne.
• Mechanizm[8] i umysł [rozróżnienie Godla[9]] to jest to samo [Turing]
• Umysłu nie da się zredukować do komputera [Lukas]
• Można stracić życie na znalezieniu dowodu.
• Niesprzeczności arytmetyki nie da się udowodnić w jej formalnym języku.

---

[1] 1. Zero jest liczbą naturalną. 2. Zero nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej. 3. Każda liczba naturalna ma następnik. 4. Jeżeli dwie liczby naturalne są różne, to mają także różne następniki. 5. Do zbioru liczb naturalnych należy każda liczba.

[2] Kartezjusz – punkt to miejsce o odpowiednio ułożonych współrzędnych. Einstein – punkt to plama kwantowa.

[3] Suma jest jeden 0,5+0,25+0,125+….paradoks – błędne rozumowanie nieskończonego rozumowania.

[4] Zasada wyłączonej sprzeczności – należy dać zdaniu tylko prawdę lub fałsz!

[5] Twórca Lofti Zadech.

[6] Oczywiście podstawą jest tu analiza geometryczna Kartezjusza.

[7] Algorytm, złożony ciąg instrukcji, co i jak należy wykonać.

[8] Niepełny model umysłu!

[9] Umysł pozostaje w ciągłym rozwoju.